Wir betrachten die beiden
binomialen Gleichungen
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und
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in den drei Variablen 
und versuchen uns über das zugehörige Nullstellengebilde
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ein Bild zu machen. Zunächst gehört die Gerade
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zu 
. Dies kann aber nicht ganz sein, da der Punkt 
zu gehört. Wenn in einem Punkt
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die Koordinate
ist, so sind auch
.
Dort gilt also
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und damit
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also
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In der Tat gehört auch das Polynom
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zu dem von den beiden binomialen Polynomen erzeugten Ideal. Das Nullstellengebilde erfüllt also insbesondere eine binomiale Gleichung, in der nur die beiden Variablen
und 
vorkommen. Es sei nach wie vor 
ein Punkt von , für den sämtliche Komponenten nicht 
sind. Dann gilt aufgrund von ähnlichen Überlegungen
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und
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Allerdings gehören die Polynome
und 
nicht zum Ideal, da sie auf der eingangs erwähnten Geraden nicht verschwinden. Unsere Überlegung hat die Inklusion
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gezeigt, wir werden gleich begründen, dass hier Gleichheit gilt. Wir betrachten die Abbildung
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Das Bild dieser Abbildung liegt offenbar in der zweiten Teilmenge. Umgekehrt ist jeder Punkt der zweiten Menge von dieser Form zu einem eindeutig bestimmten
.
Da die Bildpunkte 
auch die ursprünglichen Gleichungen erfüllt, gehört die rechte Teilmenge auch links dazu und oben gilt Gleichheit. Als bijektives Abbild der affinen Geraden ist über einem unendlichen Körper die rechte Teilmenge ebenfalls eine irreduzible Kurve.
