Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Beispiel

Wir betrachten die Nullstellenmenge

${}V=V(X-YZ,Y-XZ)\subseteq K^{3}\,$

und bestimmen die irreduziblen Komponenten davon. Die ${}z$-Achse ${}V(X,Y)$ ist eine Teilmenge von ${}V$. Wegen

${}Y(X-YZ)-X(Y-XZ)=-(Y^{2}-X^{2})Z=-(Y-X)(Y+X)Z\,$

gehört auch das Produkt ${}(Y-X)(Y+X)Z$ zum definierenden Ideal. Für einen jeden Punkt

${}P=(x,y,z)\in V\,$

gilt also ${}z=0$ oder ${}x=y$ oder ${}x=-y$. Im ersten Fall ist auch ${}x=y=0$. Im zweiten Fall werden die beiden definierenden Polynome zu

${}X-XZ=X(1-Z)\,.$

Bei

${}x=0\,$

gehört der Punkt zur ${}z$-Achse, anderfalls ist

${}P\in V(Y-X,Z-1)\,.$

Im dritten Fall kommt noch die Möglichkeit

${}P\in V(Y+X,Z+1)\,$

hinzu. Somit ist

${}V=V(X,Y)\cup V(Y-X,Z-1)\cup V(Y+X,Z+1)\,$

eine Vereinigung von drei Geraden, wobei sich die erste und die zweite in ${}(0,0,1)$ und die erste und die dritte in ${}(0,0,-1)$ treffen. Insbesondere ist ${}V$ eindimensional und zusammenhängend.

Wir betrachten nun die Jacobi-Matrix, diese ist

${\begin{pmatrix}1&-Z&-Y\\-Z&1&-X\end{pmatrix}}.$

Diese hat in einem Punkt ${}(x,y,z)$ genau dann den Rang ${}1$, wenn die zweite Zeile das ${}-z$-fache der ersten Zeile ist. Dann ist ${}z^{2}=1$ und somit ${}z=1$ oder ${}z=-1$. Im ersten Fall ist wegen der letzten Spalte der Jacobi-Matrix ${}y=(-1)(-y)=-x$. Bei ${}z=1$ werden aber beide definierenden Gleichungen zu ${}x=y$, sodass nur im Kreuzungspunkt ${}(0,0,1)$ eine Singularität vorliegt. Der zweite Fall ${}z=-1$ führt entsprechend zur Singularität ${}(0,0,-1)$.