Monoton fallend/Uneigentliches Integral/Limes ist null/Ohne Monotonie/Aufgabe/Lösung

a) Da das uneigentliche Integral existiert sind insbesondere die eigentlichen Integrale ${}\int _{0}^{c}f(t)\,dt$ für ${}c\in \mathbb {R} _{+}$ nach oben beschränkt, sagen wir durch die Schranke ${}b$. Nehmen wir an, dass die Funktion ${}f$ für ${}x\rightarrow \infty$ nicht gegen ${}0$ konvergiert. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es zu jedem ${}s\in \mathbb {R} _{+}$ ein ${}x\geq s$ mit ${}f(x)\geq \epsilon$ gibt. Wegen der Monotonie gilt auch ${}f(t)\geq \epsilon$ für alle ${}t\leq s$. Daher ist

${}\int _{0}^{s}f(t)\,dt\geq s\epsilon \,.$

Wir wählen ${}s$ derart, dass ${}s\epsilon >b$ ist und erhalten einen Widerspruch.

b) Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

die folgendermaßen definiert ist. Wenn ${}x$ zu einem Intervall der Form

$[n-{\frac {1}{n^{2}}},n+{\frac {1}{n^{2}}}]$

(mit einer natürlichen Zahl ${}n\geq 2$) gehört, so setzen wir

$f(x)=n^{2}x-n^{3}+1{\text{ für }}x\in [n-{\frac {1}{n^{2}}},n]{\text{ und }}f(x)=-n^{2}x+n^{3}+1{\text{ für }}x\in {]n,n+{\frac {1}{n^{2}}}]}$

und ${}0$ sonst. Dabei ist ${}f(n)=1$ für natürliche Zahlen ${}n\geq 2$, wie sich direkt durch Einsetzen ergibt. Da andererseits ${}f(n+{\frac {1}{2}})=0$ ist, existiert kein Grenzwert für ${}x\rightarrow \infty$. Die Abbildung ist stetig, wie sich ebenfalls durch Einsetzen an den Übergangsstellen ergibt. Um zu zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert, betrachten wir zu natürlichen Zahlen ${}n$ die Integrale

$\int _{n-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}f(t)\,dt=\int _{n-{\frac {1}{n^{2}}}}^{n+{\frac {1}{n^{2}}}}f(t)\,dt.$

Da es sich um ein Dreieck mit Grundseite ${}2{\frac {1}{n^{2}}}$ und Höhe ${}1$ handelt, ist dieses Integral gleich ${}{\frac {1}{n^{2}}}$ (man kann auch durch ${}{\frac {2}{n^{2}}}$ abschätzen). Daher ist

$\int _{0}^{k+{\frac {1}{2}}}f(t)\,dt=\sum _{n=2}^{k}\int _{n-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}f(t)\,dt\leq \sum _{n=2}^{k}{\frac {1}{n^{2}}}.$

Da die Reihe rechts konvergiert, ist die linke Seite nach oben beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral.

Zur gelösten Aufgabe