Motzkin-Polynom/Positives Vielfaches/Darstellung als Summe von Quadraten/Aufgabe/Lösung

1. Es ist offenbar ${}(1,1)$ eine Nullstelle von ${}F$.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}F\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)&=(X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1)\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)\\&=X^{6}Y^{2}+X^{4}Y^{4}-3X^{4}Y^{2}+X^{2}+X^{4}Y^{4}+X^{2}Y^{6}-3X^{2}Y^{4}+Y^{2}+X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1\\&=2X^{4}Y^{4}+X^{6}Y^{2}+X^{2}Y^{6}-2X^{4}Y^{2}-2X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+X^{2}+Y^{2}+1.\end{aligned}}$

   Wir berechnen für die andere Seite

   $(X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}$

   die Koeffizienten zu den Monomen. Es kommen nur gerade Grade vor und es kommt maximal der Grad ${}8$ vor, wobei zu diesem nur die drei hinteren Summanden beitragen, und nur ${}X^{6}Y^{2},X^{4}Y^{4},X^{2}Y^{6}$ auftreten.

   $X^{6}Y^{2}:\,\,\,{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}=1\,\,\,\checkmark$

   $X^{4}Y^{4}:\,\,\,1+{\frac {1}{4}}(-2)+{\frac {3}{4}}(2)=2\,\,\,\checkmark$

   $X^{2}Y^{6}:\,\,\,{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}=1\,\,\,\checkmark$

   Grad 6. Es kommt nur ${}X^{4}Y^{2}$ und ${}X^{2}Y^{4}$ vor.

   $X^{4}Y^{2}:\,\,\,1+{\frac {3}{4}}(-4)=-2\,\,\,\checkmark$

   $X^{2}Y^{4}:\,\,\,1+{\frac {3}{4}}(-4)=-2\,\,\,\checkmark$

   Grad 4. Es kommt nur ${}X^{2}Y^{2}$ vor.

   $X^{2}Y^{2}:\,\,\,-2-2-2+{\frac {3}{4}}(4)=-3\,\,\,\checkmark$

   Grad 2. Es kommt nur ${}X^{2}$ vor.

   $X^{2}:\,\,\,1\,\,\,\checkmark$

   $Y^{2}:\,\,\,1\,\,\,\checkmark$

   Grad 0.

   $1:\,\,\,1\,\,\,\checkmark$

3. Durch Division der Gleichung aus (2) durch ${}X^{2}+Y^{2}+1$ erhält man im Quotientenkörper zu ${}K[X,Y]$ die Gleichung

   ${}{\begin{aligned}F&={\frac {1}{X^{2}+Y^{2}+1}}{\left((X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}\right)}\\\,\end{aligned}}$

   Da ${}X^{2}+Y^{2}+1$ reell keine Nullstelle hat, gilt diese Gleichung auch im Sinne einer funktionalen Gleichung von Funktionen von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R}$. Da Quadrate nie negativ werden und die Koeffizienten zu den beteiligten Quadraten von Polynomen positiv sind, ist diese Funktion an jedem Punkt nichtnegativ.

Zur gelösten Aufgabe