Multinomialsatz/Explizite Beispiele/Nullteilerbedingung/1/Aufgabe/Kommentar

Zunächst einmal kann man einfach solche Ringe angeben, zum Beispiel kann man den Restklassenring

betrachten, wobei das von diesen Elementen erzeugte Ideal im Polynomring über einem Körper bezeichnet. Wir schreiben für die Restklassen der Variablen. Da in der Restklassenbildung das Ideal zu wird, werden insbesondere die angegebene Produkte zu . Man kann aber auch Restklassenringe von angeben, wo solche Nullteilereigenschaften gelten. Beispielsweise kann man

und in die Elemente

und

nehmen (viel einfacher geht das wohl nicht, man muss ja auch sicherstellen, dass beispielsweise oder nicht sind).

Der Multinomialsatz liefert allgemein

Dabei sind allerdings die Produkte, deren Exponententupel oberhalb eines der drei Exponententupel zu den angegebenen Monomen ist, gleich und müssen nicht angegeben werden. Es kommen nur die Monome

vor (wobei bei die beiden letzten zusammenfallen). Die anderen Exponenten sind dann jeweils gleich . Somit ist (bei )

Zur kommentierten Aufgabe