N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}12=3+3+3+3\,,$

   ${}13=7+3+3\,$

   und

   ${}14=7+7\,,$

   diese drei aufeinander folgenden Zahlen kann sie also begleichen. Alle höheren Zahlen kann sie auch begleichen, indem sie zur Darstellung von ${}12,13$ bzw. ${}14$ einfach eine gewisse Anzahl an ${}3$-Euroscheinen hinzugibt.

2. Die ${}11$ ist nicht darstellbar. In einer möglichen Darstellung der ${}11$ mit ${}3$ und ${}7$ kann höchstens eine ${}7$ vorkommen, da ${}7+7=14$ schon zu groß ist. Es ist aber

   ${}7+3=10\neq 11\,$

   und da ${}11$ kein Vielfaches von ${}3$ ist kann man diese Zahl auch nicht nur mit ${}3$ darstellen. Alle Zahlen darüber kann sie nach Teil (1) begleichen. Also ist ${}11$ die größte Zahl, die sie nicht begleichen kann.

3. Nicht begleichbar sind

   $1,2,4,5,8,11.$

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