Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über ${}n$. Für ${}n=0$ wählt man ${}k=0$ und ${}r_{0}=0$. Es sei nun ${}n\geq 1$ und die Aussage für kleinere Zahlen schon bewiesen. Nach Fakt mit ${}d=10$ gibt es eine Darstellung

${}n=q\cdot 10+r_{0}\,$

mit ${}r_{0}$ zwischen ${}0$ und ${}9$. Es ist ${}q<n$, deshalb gilt nach Induktionsvoraussetzung die Aussage für ${}q$. D.h. man kann

${}q=\sum _{i=0}^{\ell }s_{i}10^{i}\,$

mit ${}0\leq s_{i}\leq 9$ (bei $q=0$ ist dies als leere Summe zu lesen) und mit ${}s_{\ell }\neq 0$ schreiben. Daher ist

${}{\begin{aligned}n&=q\cdot 10+r_{0}\\&={\left(\sum _{i=0}^{\ell }s_{i}10^{i}\right)}\cdot 10+r_{0}\\&=\sum _{i=0}^{\ell }{\left(s_{i}10^{i+1}\right)}+r_{0}\\&=\sum _{j=1}^{\ell +1}{\left(s_{j-1}10^{j}\right)}+r_{0}\end{aligned}}$

eine Darstellung der gesuchten Art. Dabei ist ${}r_{j}=s_{j-1}$ für ${}j\geq 1$ und ${}k=\ell +1$.
Die Eindeutigkeit folgt ebenfalls aus der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest, siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage