Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}\,$

mit verschiedenen Primzahlen ${}p_{j}$. Die Teiler von ${}n$ sind alle Zahlen mit der Primfaktorzerlegung

$p_{1}^{i_{1}}p_{2}^{i_{2}}\cdots p_{k}^{i_{k}}$

mit ${}0\leq i_{j}\leq s_{j}$ für alle ${}j$. Somit gibt es

$(s_{1}+1)(s_{2}+1)\cdots (s_{k}+1)$

Teiler von ${}n$. Wenn diese Zahl ungerade ist, so muss jeder Faktor davon ungerade sein und das bedeutet, dass jedes ${}s_{j}$ gerade ist. Man kann also jeweils ${}s_{j}=2r_{j}$ schreiben. Somit ist

${}n=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}=p_{1}^{2r_{1}}p_{2}^{2r_{2}}\cdots p_{k}^{2r_{k}}={\left(p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\right)}^{2}\,$

und ${}n$ ist eine Quadratzahl.

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