Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen vom Dezimalsystem im Sinne einer gemischten Darstellung (Stellenwertsystem) aus und müssen zeigen, dass dort das Nachfolgernehmen, also die Addition mit , die gleiche Wirkungsweise besitzt wie der Zählalgorithmus. Der Nachfolger einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl

ist einfach

Aus diesem Ausdruck lässt sich aber noch nicht unmittelbar die Dezimaldarstellung dieser Zahl ablesen, da der Einerkoeffizient nicht unbedingt sein muss. Wenn ist, so ist

und die Dezimalentwicklung des Nachfolgers liegt unmittelbar vor. Wenn hingegen ist, so geht es um die Zahl

Erneut gilt, dass bei die Dezimalentwicklung vorliegt, bei muss man wie zuvor weitermachen. Wenn die hintersten (niedrigststelligen) Ziffern gleich sind und

(was den Fall einschließt, dass genau Ziffern hat, in welchem Fall als zu interpretieren ist), so erhält man den Nachfolger, indem man diese Neunen durch Nullen ersetzt und um erhöht. Es liegt also die Wirkungsweise des Zählalgorithmus vor.