Natürliche Zahl/Zehnersystem/Potenzabschätzung/Fakt/Beweis2

Beweis

Wenn die Zahl ${}n$ im Zehnersystem aus mehr als ${}k$ Ziffern besteht, so ist

${}n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\,$

mit

${}a_{\ell }\geq 1\,$

und

${}\ell \geq k\,.$

Nach Fakt ist dann

${}n\geq a_{\ell }10^{\ell }\geq 10^{\ell }\geq 10^{k}\,.$

Wenn die Zahl ${}n$ aus maximal ${}k$ Ziffern besteht, so kann man sie als

${}n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,$

mit ${}a_{i}<10$ schreiben. Aus Fakt folgt direkt

${}n\leq 9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+\cdots +9\cdot 10^{k-1}\,.$

Wir zeigen durch Induktion über ${}k$, dass diese Zahl kleiner als ${}10^{k}$ ist. Bei

${}k=1\,$

ist

${}9<10\,$

(nach Definition ist ${}10$ der Nachfolger von ${}9$). Im Induktionsschritt von ${}k$ nach ${}k+1$ folgt aus der Induktionsvoraussetzung wegen

${}{\begin{aligned}9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+\cdots +9\cdot 10^{k-1}+9\cdot 10^{k}&<10^{k}+9\cdot 10^{k}\\&=10\cdot 10^{k}\\&=10^{k+1}\end{aligned}}$

die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage