Aufgrund des Distributivgesetzes für die Differenz ist
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![{\displaystyle {}(a-b)(c-d)=a(c-d)-b(c-d)=(ac-ad)-b(c-d)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fa3c66fb864c1e2461ec1f29758787f46def02)
Wir wollen zeigen, dass dies mit
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übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die beiden Terme gleich sind, wenn man zu ihnen jeweils
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hinzuaddiert. Dies ergibt einerseits
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}((ac-ad)-b(c-d))+b(c-d)+ad&=(ac-ad)+ad\\&=ac\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d85536fe2c87121d7b2328a6cda6558c0246ac7)
und andererseits
nach Fakt (2)
und
nach Fakt (1)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(ac+bd-(bc+ad))+b(c-d)+ad&=(ac+bd-(bc+ad))+(bc-bd)+ad\\&=(ac+bd-(bc+ad))+((bc+ad)-bd)\\&=(ac+bd+(bc+ad-bd))-(bc+ad)\\&=(ac+bc+ad)-(bc+ad)\\&=ac,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd55fa1d7451bee31fc0179ed6d278d7147465c9)
also das gleiche.