Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt/Beweis

Beweis

1. Aus

   ${}b+(a-b)=a\,$

   ergibt sich direkt

   ${}b+c+(a-b)=c+a\,.$

   Die Zusätze ergeben sich aus der Eindeutigkeit der Differenz.

2. Wegen Fakt  (2) ist

   ${}a+c\geq b+d\,,$

   so dass der Ausdruck links einen Sinn ergibt. Die Rechnung

   ${}(b+d)+(a-b)+(c-d)=d+a+(c-d)=a+c\,$

   unter Verwendung der ersten Teils zeigt, dass ${}(a-b)+(c-d)$ die charakteristische Eigenschaft von ${}(a+c)-(b+d)$ erfüllt, also wegen der Eindeutigkeit damit übereinstimmt.

3. Nach Teil (2) folgt aus ${}a\geq b$ und ${}b+c\geq a$ die Beziehung

   ${}(a-b)+((b+c)-a)=a+b+c-(a+b)=c\,$

   und insbesondere ${}c\geq a-b$. Beidseitiges Abziehen von ${}a-b$ ergibt

   ${}(b+c)-a=c-(a-b)\,.$

Zur bewiesenen Aussage