Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Umlegungsregel/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}*$ auf ${}\mathbb {N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit

${}x+y=x*y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über ${}y$ (für beliebige ${}x$). Bei

${}y=0\,$

ist wegen

${}x+0=x=x*0\,$

die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes ${}y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung

${}x+y^{\prime }=x^{\prime }+y=x^{\prime }*y=x*y^{\prime }\,.$

Zur bewiesenen Aussage