Natürliche Zahlen/Erzeugende Funktion/Beispiel

Zur Folge der natürlichen Zahlen ${}a_{n}=n$ gehört als erzeugende Funktion die Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}$. Diese Reihe ist gleich ${}z$ mal der Ableitung der geometrischen Reihe, also gleich

${}z\cdot {\left(\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\right)}'=z\cdot {\left({\frac {1}{1-z}}\right)}'\,.$

Wegen

${}{\left({\frac {1}{1-z}}\right)}'={\frac {1}{(1-z)^{2}}}\,$

stellt die erzeugende Funktion zu den natürlichen Zahlen die rationale Funktion ${}{\frac {z}{(1-z)^{2}}}$ dar.