Natürliche Zahlen/Ordnung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Man sagt, dass eine natürliche Zahl ${}n$ größergleich einer natürlichen Zahl ${}k$ ist, geschrieben

${}n\geq k\,,$

wenn man von ${}k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu ${}n$ gelangt.

Statt ${}n\geq k$ schreibt man auch ${}k\leq n$ (gesprochen kleinergleich). Die Schreibweise ${}n>k$ bedeutet ${}n\geq k$ und ${}n\neq k$.

Auf dem nach rechts verlaufenden Zahlenstrahl bedeutet ${}n\geq k$, dass sich ${}n$ weiter rechts als ${}k$ befindet. Diese Intepretation gilt für alle reellen Zahlen.

Lemma

Für natürliche Zahlen ${}n,k$ gilt

${}n\geq k\,$

genau dann, wenn es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit

${}n=k+m\,$

gibt.

Beweis

Die Zahl ${}m$ gibt an, wie oft man von ${}k$ aus den Nachfolger nehmen muss, um zu ${}n$ zu gelangen.

$\Box$

Lemma

Für die Größergleich-Relation in den natürlichen Zahlen gelten die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}a\geq 0\,$

   für alle ${}a\in \mathbb {N}$.

2. Es ist

   ${}a=0\,$

   oder

   ${}a\geq 1\,.$

3. Bei

   ${}a\geq b\,$

   gilt

   ${}a=b\,$

   oder

   ${}a\geq b+1\,.$

Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung aus Fakt.

1. Ist klar wegen ${}a=0+a$.
2. Wir zeigen die Aussage ${}a=0$ oder ${}a\geq 1$ für alle ${}a\in \mathbb {N}$ durch Induktion über ${}a$. Für ${}a=0$ ist die Aussage klar. Es sei also angenommen, dass die Aussage für ein bestimmtes ${}a$ gelte. Dann ist ${}a=0$ oder ${}a\geq 1$. Im ersten Fall ist dann ${}1+a=1+0=1$ und insbesondere ${}1+a\geq 1$. Im zweiten Fall ist ${}a=b+1$ mit einem ${}b\in \mathbb {N}$ und damit ${}a+1=(b+1)+1=1+(b+1)$.
3. Wird ähnlich wie (2) bewiesen, siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Auf den natürlichen Zahlen

ist durch die Größergleich-Relation ${}\geq$ eine totale Ordnung definiert.

Beweis

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen ${}n=n+0$ ist ${}n\geq n$. Wenn ${}k\geq \ell$ und ${}\ell \geq m$ ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen ${}a,b$ mit ${}k=\ell +a$ und ${}\ell =m+b$ gibt. Dann gilt insgesamt

${}k=\ell +a=(m+b)+a=m+(b+a)\,$

und somit ist auch ${}k\geq m$. Aus ${}k\geq \ell$ und ${}\ell \geq k$ ergibt sich ${}k=\ell +a$ und ${}\ell =k+b$ und somit ${}k=k+(a+b)$. Dies ist nach der Abziehregel nur bei ${}a+b=0$ möglich, und dies ist wiederum, da ${}0$ kein Nachfolger ist, nur bei ${}a=b=0$ möglich. Die Aussage ${}a\geq b$ oder ${}b\geq a$ beweisen wir durch Induktion über ${}a$ (für jedes feste ${}b$), wobei der Induktionsanfang wegen ${}b\geq 0$ klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes ${}a$. Wenn die erste Möglichkeit gilt, also ${}a\geq b$, so gilt wegen

${}a+1>a\geq b\,$

erst recht ${}a+1\geq b$. Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also ${}a\leq b$, so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei ${}a=b$ ist ${}a+1\geq b$ und die Gesamtaussage gilt für ${}a+1$. Andernfalls ist ${}a<b$ und somit ist nach Fakt  (3) ${}a+1\leq b$ und die Gesamtaussage gilt erneut.

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Wir begründen nun, dass die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.

Satz

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}a\geq b\,$

   genau dann, wenn

   ${}a+c\geq b+c\,$

   ist.

2. Aus

   ${}a\geq b\,$

   und

   ${}c\geq d\,$

   folgt

   ${}a+c\geq b+d\,.$

3. Aus

   ${}a\geq b\,$

   folgt

   ${}ca\geq cb\,.$

4. Aus

   ${}a\geq b\,$

   und

   ${}c\geq d\,$

   folgt

   ${}ac\geq bd\,.$

5. Aus

   ${}c\geq 1\,$

   und

   ${}ca\geq cb\,.$

   folgt

   ${}a\geq b\,.$

Beweis

1. Wir beweisen die Aussagen mit Fakt. Nach Voraussetzung gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}a=b+m$. Dann ist auch ${}a=b+m$. ${}a+c=b+m+c=b+c+m$, was ${}a+c\geq b+c$ bedeutet.
2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

   ${}a+c\geq b+c\geq b+d\,,$

   so dass die Transitivität den Schluss ergibt.

3. Die Voraussetzung bedeutet wieder ${}a=b+m$ mit einem ${}m\in \mathbb {N}$. Dann ist mit dem Distributivgesetz

   ${}ca=c(b+m)=cb+cm\,,$

   also ${}ca\geq cm$.

4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich

   ${}ac\geq bc\geq bd\,.$

5. Sei ${}c\geq 1$. Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung ${}b>a$ die Größerbeziehung ${}bc>ac$ folgt. Sei also ${}b>a$. Dann ist ${}b\geq a+1$ und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)

   ${}bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$

   also ${}bc>ac$.

$\Box$