Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Bijektion der Nachfolgermengen/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst landet die Abbildung in der angegebenen Menge. Es sei hierzu ${}x\in N_{\geq n}$. Dann ist nach Fakt ${}x=n$ oder ${}x\in N_{\geq n'}$. Im ersten Fall ist ${}x'=n'\in N_{\geq n'}$, im zweiten Fall folgt diese Zugehörigkeit aus der induktiven Abgeschlossenheit von ${}N_{\geq n'}$.

Die Abbildung ist injektiv, da sie eine Einschränkung der aufgrund der Peanoaxiome injektiven Nachfolgerabbildung ist. Es sei ${}B$ das Bild der Abbildung. Es ist ${}n'\in B$. Ferner ist ${}B$ induktiv abgeschlossen. Für ein Element ${}y\in B$ gibt es ja ein ${}x\in N_{\geq n}$ mit ${}y=x'$. Dann gehört aber ${}y'=(x')'$ ebenfalls zu ${}B$, da ${}x'\in N_{\geq n}$ ist. Daher muss ${}N_{\geq n'}\subseteq B$ gelten und die Abbildung muss surjektiv sein.

Zur bewiesenen Aussage