Natürliche Zahlen/Ordnung/Mengentheoretisch/Zusammenhang geq k und Nachfolger/Fakt/Beweis

Beweis

Für die Inklusion ist einerseits . Da induktiv abgeschlossen ist, gilt auch und damit nach Fakt auch . Für die andere Inklusion zeigen wir, dass induktiv abgeschlossen ist. Es sei dazu . Bei ist . Andernfalls ist und da diese Menge induktiv abgeschlossen ist, folgt . Damit ist die rechte Seite induktiv abgeschlossen und enthält , also kommt sie im Durchschnitt, der ergibt, vor, also gilt auch die andere Inklusion.