- Wir beweisen die Aussagen mit
Fakt.
Nach Voraussetzung gibt es ein
mit
.
Dann ist auch
.
,
was
bedeutet.
- Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert
-
![{\displaystyle {}a+c\geq b+c\geq b+d\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ce0137575d95bb295320245571202c5ca6f792)
so dass die Transitivität den Schluss ergibt.
- Die Voraussetzung bedeutet wieder
mit einem
.
Dann ist mit dem Distributivgesetz
-
![{\displaystyle {}ca=c(b+m)=cb+cm\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c078b6bce316e1378c7196052c66ca61aa66e0e)
also
.
- Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich
-
![{\displaystyle {}ac\geq bc\geq bd\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecd532b882ef92b6942f15e36581f7753557157)
- Sei
.
Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung
die Größerbeziehung
folgt. Sei also
.
Dann ist
und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)
-
![{\displaystyle {}bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e354d609c86e13a9e1f08377ad10e2f6390230)
also
.