Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis

Beweis

1. Wir beweisen die Aussagen mit Fakt. Nach Voraussetzung gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}a=b+m$. Dann ist auch ${}a=b+m$. ${}a+c=b+m+c=b+c+m$, was ${}a+c\geq b+c$ bedeutet.
2. Zweifache Anwendung von Teil (1) liefert

   ${}a+c\geq b+c\geq b+d\,,$

   sodass die Transitivität den Schluss ergibt.

3. Die Voraussetzung bedeutet wieder ${}a=b+m$ mit einem ${}m\in \mathbb {N}$. Dann ist mit dem Distributivgesetz

   ${}ca=c(b+m)=cb+cm\,,$

   also ${}ca\geq cm$.

4. Aus den Voraussetzungen und Teil (3) ergibt sich

   ${}ac\geq bc\geq bd\,.$

5. Sei ${}c\geq 1$. Wir beweisen die Kontraposition, dass aus der Größerbeziehung ${}b>a$ die Größerbeziehung ${}bc>ac$ folgt. Es sei also ${}b>a$. Dann ist ${}b\geq a+1$ und somit ist nach Teil (3) und Teil (2)

   ${}bc\geq (a+1)c=ac+c\geq ac+1\,,$

   also ${}bc>ac$.

Zur bewiesenen Aussage