Natürliche Zahlen/Peano/Ziffernmodell/10/Beispiel
Wir stellen ein Ziffernmodell (10er Modell) für die natürlichen Zahlen vor, das die Peanoaxiome erfüllt. Das Modell beruht auf endlichen Symbolketten, wobei die zugrunde gelegte Symbolmenge die Ziffernmenge
ist. In diesem Modell ist eine natürliche Zahl eine endliche, nichtleere Hintereinanderreihung von Ziffern aus , deren erste Ziffer von der Ziffer verschieden ist, es sei denn, die Gesamtkette ist die -Kette, die aus der einzigen Ziffer besteht. Zwei solche Zahlen sind genau dann gleich, wenn die Ziffernfolgen an jeder Ziffer übereinstimmen. Die -Kette ist das ausgezeichnete Element.
Die Festlegung der Nachfolgerabbildung erfordert einige Vorbereitungen. Zunächst wird eine Abbildung
durch
definiert. Ferner setzten wir . Weiter wird auf der Menge der Ziffernfolgen, in denen ausschließlich die Ziffer vorkommt (wobei die leere Ziffernfolge zugelassen ist) die Abbildung dadurch definiert, dass jede durch eine ersetzt wird. Man kann nun jede erlaubte endliche Ziffernfolge eindeutig schreiben als die Verkettung , wobei eine reine (eventuell leere) Neunerfolge ist, eine einzelne Ziffer oder leer ist, und eine beliebige endliche (eventuell leere) Ziffernfolge ist, die leer sein muss, wenn auch leer ist. Mit diesen Vorbereitungen definieren wir die Nachfolgerabbildung durch
