Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt/Beweis

Beweis

Da die Abbildung ${}\varphi$ insbesondere die Null respektieren soll, muss

${}\varphi (0_{1})=0_{2}\,$

sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell

${}\varphi (x^{\prime })=(\varphi (x))^{\star }\,$

für alle ${}x\in N_{1}$. Speziell gilt

${}\varphi (0_{1}^{\prime })={\left(\varphi (0_{1})\right)}^{\star }=0_{2}^{\star }\,.$

Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen

${}\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime }\right)}=\varphi {\left((0_{1}^{\prime })^{\prime }\right)}={\left(\varphi (0_{1}^{\prime })\right)}^{\star }={\left(0_{2}^{\star }\right)}^{\star }=0_{2}^{\star \star }\,.$

Ebenso muss

${}\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime \prime }\right)}=0_{2}^{\star \star \star }\,,$

${}\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime \prime \prime }\right)}=0_{2}^{\star \star \star \star }\,,$

u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element ${}\neq 0_{1}$ aus ${}N_{1}$ von ${}0_{1}$ aus durch die Nachfolgerabbildung ${}\prime$ schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von ${}N_{1}$ nach ${}N_{2}$.

Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge

${}T={\left\{y\in N_{2}\mid {\text{ Es gibt }}x\in N_{1}{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.$

Wir müssen zeigen, dass

${}T=N_{2}\,$

ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für ${}N_{2}$ an. Wegen

${}\varphi (0_{1})=0_{2}\,$

gehört ${}0_{2}\in T$. Wenn ${}y\in T$ ist, so ist also

${}y=\varphi (x)\,$

für ein ${}x\in N_{1}$. Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist

${}y^{\star }=\varphi (x^{\prime })\,,$

d.h. auch ${}y^{\star }\in T$. Daher ist ${}T$ unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also ${}T=N_{2}$. Zum Nachweis der Injektivität seien ${}x,{\tilde {x}}\in N_{1}$ verschieden. und zwar sei ${}{\tilde {x}}$ ein (direkter oder) höherer Nachfolger von ${}x$. Dann ist ${}\varphi ({\tilde {x}})$ der entsprechende Nachfolger von ${}\varphi (x)$ und insbesondere davon verschieden (siehe Aufgabe), da das Nachfolgernehmen in ${}N_{2}$ injektiv ist.

Zur bewiesenen Aussage