Natürlicher Logarithmus/Taylorreihe über Ableitung in 1/Beispiel

Wir wollen die Taylor-Reihe des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt ${}1$ bestimmen. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist nach Fakt gleich ${}1/x$. Diese Funktion besitzt nach Fakt die Potenzreihenentwicklung

${}{\frac {1}{x}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(x-1)^{k}\,$

im Entwicklungspunkt ${}1$ (die für ${}\vert {x-1}\vert <1$ konvergiert). Daher besitzt nach Fakt der natürliche Logarithmus die Potenzreihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}(x-1)^{k}.$

Mit ${}z=x-1$ ist dies die Reihe

$z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+{\frac {z^{5}}{5}}-\ldots .$