Nebenbedingung/Quader/Goldfolie/Aufgabe/Lösung

a) Wir schreiben die Inhaltsbedingung als

${}f(a,b,c)=abc=1000\,$

und die Flächenfunktion (bis auf den Faktor ${}2$) als

${}h(a,b,c)=ab+ac+bc\,.$

Die Ableitungen in einem Punkt ${}P=\left(a,\,b,\,c\right)$ sind

${}\left(Df\right)_{P}=\left(bc,\,ac,\,ab\right)\,$

und

${}\left(Dh\right)_{P}=\left(b+c,\,a+c,\,a+b\right)\,.$

Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als

${}{\begin{pmatrix}b+c\\a+c\\a+b\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}bc\\ac\\ab\end{pmatrix}}\,.$

Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf

$b-a=\lambda c(b-a),\,c-a=\lambda b(c-a),\,c-b=\lambda a(c-b)\,.$

Wären die drei Zahlen ${}a,b,c$ alle untereinander verschieden, so würde sich durch kürzen sofort der Widerspruch

${}{\frac {1}{\lambda }}=a=b=c\,$

ergeben. Bei

${}a=b\neq c\,$

ergibt sich

${}{\frac {1}{\lambda }}=a\,$

und daraus mit der zweiten Zeile

${}a+c=c\,,$

also

${}a=0\,,$

was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also

${}a=b=c\,$

(und ${}\lambda ={\frac {2}{a}}$). Wegen

${}abc=1000\,$

ist dieser Punkt ${}(10,10,10)$.

b) Wir arbeiten mit der Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} _{+}^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b)\longmapsto \left(a,\,b,\,{\frac {1000}{ab}}\right).$

Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von ${}(10,10)$ und einer offenen Umgebung von ${}(10,10,10)$ der Faser von ${}f$, sodass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion

${}{\tilde {h}}=h\circ \psi \,$

in ${}(10,10)$ ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt

${}{\tilde {h}}(a,b)=ab+a{\frac {1000}{ab}}+b{\frac {1000}{ab}}=ab+{\frac {1000}{b}}+{\frac {1000}{a}}\,.$

Das totale Differential davon ist

$\left(b-{\frac {1000}{a^{2}}},\,a-{\frac {1000}{b^{2}}}\right)$

mit dem kritischen Punkt ${}(10,10)$. Die Hesse-Matrix dazu ist

${\begin{pmatrix}{\frac {2000}{a^{3}}}&1\\1&{\frac {2000}{b^{3}}}\end{pmatrix}}.$

Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist

${}4-1=3>0\,.$

Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor.

c) Sei

${}a\leq b\leq c\,.$

Die Zielfunktion ist jetzt

${}g(a,b,c)=3ab+ac+bc\,.$

Die Lagrange-Bedingung ist somit

${}{\begin{pmatrix}3b+c\\3a+c\\a+b\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}bc\\ac\\ab\end{pmatrix}}\,.$

Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist

${}3(b-a)=\lambda c(b-a)\,.$

Bei ${}a\neq b$ ergibt sich

${}3=\lambda c\,$

und daraus mit

${}3b+c=\lambda bc=3b\,$

der Wert

${}c=0\,,$

was nicht erlaubt ist. Also ist

${}a=b\,.$

Aus

${}2a=\lambda a^{2}\,$

folgt

${}\lambda ={\frac {2}{a}}\,.$

Aus

${}3a+c=\lambda ac=2c\,$

ergibt sich

${}c=3a\,.$

Aus der Volumenbedingung

${}1000=aa(3a)=3a^{3}\,$

folgt

${}a=b={\frac {10}{\sqrt[{3}]{3}}}\,$

und

${}c=10\cdot 3^{2/3}\,.$

Zur gelösten Aufgabe