Neil-Parabel/Unitäre Differentialoperatoren/Beispiel

Auf der Neilschen Parabel, die durch die numerische Halbgruppe

${}M=\{0,2,3,\ldots \}\subset \mathbb {N} \,$

gegeben ist, lassen sich zu jedem Monom ${}U^{n}$, ${}n\in M$, direkt unitäre Differentialoperatoren rational angeben. Wir betrachten ${}{\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}$. Dies schickt ${}U^{2}$ auf ${}1$, ist aber nur eine rationaler Operator, da

${}{\left({\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}\right)}{\left(U^{3}\right)}=3U\notin K[M]\,.$

Diesen Umstand kann man aber durch einen Korrekturterm einfach beheben. Wir betrachten

${\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}-3U{\frac {1}{3!}}\partial _{U}^{3},$

der Koeffizient rechts ist so gewählt, dass ${}U^{3}$ insgesamt auf ${}0$ abgebildet wird. Der Term ${}U^{2}$ wird nach wie vor auf ${}1$ abgebildet. Monome der Form ${}U^{n}$, ${}n\geq 4$, werden auf skalare Vielfache von ${}U^{n-2}$ abgebildet, das Bild gehört also zum Ring. Somit ist der angegebene Operator ein unitärer Operator für ${}U^{2}$ auf ${}K[M]$.

In der gleichen Weise ergeben sich unitäre Operatoren für ${}U^{n}$, ${}n\geq 3$, man kann stets

${\frac {1}{n!}}{\left(\partial _{U}^{n}-U\partial _{U}^{n+1}\right)}$

nehmen.