Neilsche Parabel/Assoziierter graduierter Ring/Beispiel

Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu ${}R=K[X,Y]/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\left(X,Y\right)}$, kann man den assoziierten graduierten Ring wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung

$\varphi \colon K[S,T]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,$

die ${}S$ auf die Restklasse von ${}X$ und ${}T$ auf die Restklasse von ${}Y$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ abbildet. Dabei ist

${}\varphi {\left(S^{2}\right)}=[X]^{2}=[X^{2}]=[Y^{3}]=0\,,$

da ja die dritte Potenz von ${}Y$ zu ${}{\mathfrak {m}}^{3}$ gehört. Da die Monome ${}X^{i}Y^{j}$ mit ${}i=0,1$ nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie

${}K[S,T]/{\left(S^{2}\right)}\cong \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\,.$

Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl ${}R$ ein Integritätsbereich ist.