Neilsche Parabel/Einheitskreis/Schnittpunkt numerisch/Aufgabe/Lösung

Wir setzen ${}y^{2}=x^{3}$ in die Kreisgleichung ein und erhalten

${}x^{3}+x^{2}-1=0\,.$

Bei ${}x=1$ ergibt sich der Wert ${}1$, bei ${}x=0{,}5$ ergibt sich ein negativer Wert. Nach dem Zwischenwertsatz muss das Polynom also im Intervall ${}[0{,}5;1]$ eine Nullstelle ${}x_{0}$ haben. Da ${}x_{0}^{3}$ positiv ist, gibt es auch eine reelle Quadratwurzel ${}y_{0}={\sqrt {x_{0}^{3}}}$ daraus, und ${}(x_{0},y_{0})$ ist ein reeller Schnittpunkt.

Zur numerischen Approximation zu ${}x_{0}$ berechnen wir

${}(0{,}7)^{3}+(0{,}7)^{2}-1<0{,}49+0{,}49-1<0\,$

und

${}(0{,}8)^{3}+(0{,}8)^{2}-1=0{,}64\cdot 0{,}8+0{,}64-1>0{,}48+0{,}64-1=0\,,$

es gibt also einen Schnittpunkt, dessen ${}x$-Koordinate im Intervall ${}[0{,}7;0{,}8]$ liegt.

Zur gelösten Aufgabe