Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss ${}{\tilde {\varphi }}{\left(1/s\right)}=(\varphi (s))^{-1}$ für ${}s\in S$ und damit ${}{\tilde {\varphi }}{\left(a/s\right)}=\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}$ sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.

Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${}{\frac {a}{s}}={\frac {b}{t}}$ mit ${}s,t\in S$. Dies bedeutet, dass es ein ${}r\in S$ mit ${}rta=rsb$ gibt. Dann ist auch

${}\varphi (r)\varphi (t)\varphi (a)=\varphi (r)\varphi (s)\varphi (b)\,$

und durch Multiplizieren mit der Einheit ${}\varphi (r)^{-1}\varphi (t)^{-1}\varphi (s)^{-1}$ folgt

${}\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}=\varphi (b)(\varphi (t))^{-1}\,.$

Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist

${}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}+{\frac {b}{t}}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {at+bs}{st}}\right)}\\&=\varphi (at+bs)\varphi (st)^{-1}\\&=(\varphi (a)\varphi (t)+\varphi (s)\varphi (b))\varphi (s)^{-1}\varphi (t)^{-1}\\&=\varphi (a)\varphi (s)^{-1}+\varphi (b)\varphi (t)^{-1}\\&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}\right)}+{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {b}{t}}\right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage