Es sei
ein Unterring, also
, und seien
die verschiedenen Primfaktoren von
. Es sei
derart, dass genau für
gilt:
. Es sei
. Wir behaupten die Gleichheit
-
Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus
gibt.
Die Inklusion
ist klar. Ein Element links hat die Gestalt
-
Es sei umgekehrt
. Wegen
kann man schreiben
-
Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler
und Nenner
teilerfremd sind. Angenommen,
sei ein Primteiler von
, der nicht zu
,
, gehöre. Schreibe
mit
und
teilerfremd. Wir multiplizieren
mit
und erhalten
-
Hierbei ist insbesondere
zu
teilerfremd. Es sei
. Dann ist
-
Daraus folgt

und damit

, Widerspruch.