Es sei ein Unterring, also , und seien die verschiedenen Primfaktoren von . Es sei derart, dass genau für gilt: . Es sei . Wir behaupten die Gleichheit
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Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus gibt.
Die Inklusion ist klar. Ein Element links hat die Gestalt
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Es sei umgekehrt . Wegen kann man schreiben
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Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Angenommen, sei ein Primteiler von , der nicht zu , , gehöre. Schreibe mit und teilerfremd. Wir multiplizieren mit und erhalten
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Hierbei ist insbesondere zu teilerfremd. Es sei . Dann ist
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Daraus folgt
und damit
, Widerspruch.