Nilpotente Abbildungen/Summe und Produkt/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}\varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

Wegen

${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$

sind beide Matrizen nilpotent. Dagegen ist

${}\varphi \circ \psi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$

wegen

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$

nicht nilpotent und

${}\varphi +\psi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

ist bijektiv, also auch nicht nilpotent.

Zur gelösten Aufgabe