Nilpotente Matrizen/2x2/Mannigfaltigkeit/Aufgabe/Lösung

a) Jede nilpotente Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ lässt sich durch den linearen Weg

$[0,1]\longrightarrow N,\,t\longmapsto t{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist ${}N$ wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.

b) Eine ${}2\times 2$-Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante ${}0$ sind. Die Menge ${}N$ der nilpotenten Matrizen kann also als

${\left\{(a,b,c,d)\mid a+d=0{\text{ und }}ad-bc=0\right\}}$

aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a,b,c,d)\longmapsto (a+d,ad-bc).$

Deren Jacobi-Matrix ist

${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\d&-c&-b&a\end{pmatrix}}.$

Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht regulär, aber in jedem anderen Punkt der Faser ${}N$. Wenn nämlich ${}P\in M$ ist, so folgt wegen

${}a^{2}=bc\,$

aus

${}b=c=0\,$

sofort

${}a=b=c=d=0\,.$

Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus ${}M$ den maximalen Rang. Mit

${}G=\mathbb {R} ^{4}\setminus \{0\}\,$

kann man ${}M$ als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist ${}M$ nach Fakt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}G$.

c) Nach Fakt ist die Dimension von ${}M$ gleich ${}4-2=2$.

d) Wir schreiben

${}M_{+}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b>c\right\}}\,$

und

${}M_{-}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b<c\right\}}\,,$

beides sind (als Durchschnitt von ${}M$ mit der durch ${}b>c$ gegebenen offenen Menge des ${}\mathbb {R} ^{4}$) offene Mengen in ${}M$. Die Matrizen ${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$ zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz ${}M$. Bei ${}b=c$ folgt nämlich wegen

${}0=ad-bc=-a^{2}-b^{2}\,$

direkt ${}a=b=c=d=0$, und der Punkt gehört nicht zu ${}M$. Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist ${}M$ nicht zusammenhängend.

e) Wir arbeiten mit der Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow M_{+},\,(a,u)\longmapsto (a,u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},-a).$

Wegen

${}{\begin{aligned}ad-bc&=-a^{2}-{\left(u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}\\&=-a^{2}-{\left(u^{2}-{\left(a^{2}+u^{2}\right)}\right)}\\&=0\end{aligned}}$

ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen

${}b-c=u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}-{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}})\right)}=2{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}>0\,$

gehört das Bild zu ${}M_{+}$. Die Abbildung

$\varphi \colon M_{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(a,b,c,d)\longmapsto \left(a,\,{\frac {b+c}{2}}\right),$

ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist

${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\,$

klar. Die andere Identität ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}{\frac {b+c}{2}}+{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {b-c}{2}}\\&=b\end{aligned}}$

und

${}{\frac {b+c}{2}}-{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}={\frac {b+c}{2}}-{\frac {b-c}{2}}=c\,.$

Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine Homöomorphie vor. Für ${}M_{-}$ vertauscht man die Rollen von

${}b$ und ${}c$.

Zur gelösten Aufgabe