Nilpotenter Endomorphismus/Basisbilder/2/Aufgabe

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{7}$ eine Basis des ${}\mathbb {R}$-Vektorraumes ${}V$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die durch

$v_{3},v_{2}\mapsto v_{5},\,v_{5}\mapsto 4v_{6},\,v_{1},v_{4}\mapsto 0,\,v_{6}\mapsto 5v_{4},\,v_{7}\mapsto 3v_{2}$

festgelegt ist.

1. Begründe, warum ${}\varphi$ nilpotent ist.
2. Bestimme das minimale ${}s$ mit ${}\varphi ^{s}=0$.
3. Bestimme den Kern von ${}\varphi$.
4. Finde eine Basis von ${}V$, bezüglich der ${}\varphi$ jordansche Normalform hat.

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