Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis (oder ein endliches Erzeugendensystem) und es sei ${}k_{j}\in \mathbb {N}$ mit

${}\varphi ^{k_{j}}(v_{j})=0\,$

gegeben. Dann erfüllt

${}k:={\max {\left(k_{j},j=1,\ldots ,m\right)}}\,$

die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu ${}v\in V$ ist

${}v=\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\,.$

Aufgrund der Linearität von ${}\varphi ^{k}$ ist

${}\varphi ^{k}(v)=\varphi ^{k}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}\varphi ^{k}(v_{i})=0\,,$

also ist

${}\varphi ^{k}=0\,.$

Zur bewiesenen Aussage