Nilpotenter Endomorphismus/Dimensionssprünge/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$. Es sei

${}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.$

Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung

${}\operatorname {dim} _{}\left(V_{i}\right)-\operatorname {dim} _{}\left(V_{i}-1\right)\geq \operatorname {dim} _{}\left(V_{i+1}\right)-\operatorname {dim} _{}\left(V_{i}\right)\,$

gilt.

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