Es sei
-

und
minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume
-

Es sei
ein direktes Komplement zu
, also
-

Es ist
-

da die Elemente
aus
unter
nicht auf
abgebildet werden. Daher gibt es einen Untervektorraum
von
mit
-

und mit
-

In dieser Weise erhält man Untervektorräume
mit
-

und mit
-

Ferner ist
-

da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist
eingeschränkt
auf
mit
injektiv. Zu
ist ja wegen der Direktheit
-

Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis
von
. Das
(linear unabhängige)
Bild
ergänzen wir zu einer Basis
von
und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von
. Die Basiselemente aus
für
werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus
auf
. Um eine Reihenfolge der Basis festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus
, gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus
, gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, bis
aufgebraucht ist. Dann arbeitet man
in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.