Es sei
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und minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume
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Es sei ein direktes Komplement zu , also
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Wegen
Fakt
ist
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und somit
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Daher gibt es einen Untervektorraum von mit
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und mit
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In dieser Weise erhält man Untervektorräume
mit
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und mit
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Ferner ist
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da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist eingeschränkt
auf mit
injektiv. Zu
ist ja wegen der Direktheit
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Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis von . Das
(linear unabhängige)
Bild ergänzen wir zu einer Basis von und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von . Die Basiselemente aus für
werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus auf . Um eine Reihenfolge festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus , gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus , gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, bis aufgebraucht ist. Dann arbeitet man in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.