Noetherscher Ring/Komplettierung/Modul/Tensorierung/Abbildung/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Es sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann ist die natürliche Abbildung

$M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}},\,m\otimes (f_{n})\longmapsto (f_{n}m),$

linear über ${}{\hat {R}}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen