Normaler Integritätsbereich/Normalisierung/Faktoriell/Textabschnitt
Definition
Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
Definition
Es sei ein Integritätsbereich und sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .
Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.
Satz
Es sei ein faktorieller Integritätsbereich.
Dann ist normal.
Beweis
Sei der Quotientenkörper von und ein Element, das die Ganzheitsgleichung
mit erfüllt. Wir schreiben mit , , wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also und keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass eine Einheit in ist, da dann zu gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit und erhalten in
Wenn keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler von . Dieser teilt alle Summanden für und daher auch den ersten, also . Das bedeutet aber, dass selbst ein Vielfaches von ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.