Normaler integrer Ring/Nenneraufnahme an einem Element ist normal/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}q\in Q(R)=Q(R_{f})$ ein Element im Quotientenkörper und angenommen, dass es eine Ganzheitsgleichung über ${}R_{f}$ erfüllt. Es gibt also eine Gleichung der Form

${}q^{n}+g_{n-1}q^{n-1}+\cdots +g_{1}q+g_{0}=0\,$

mit ${}g_{i}\in R_{f}$. D.h. die ${}g_{i}$ lassen sich schreiben als Brüche, deren Nenner Potenzen von ${}f$ sind. Man kann dann annehmen, dass alle Brüche mit einer festen Potenz ${}f^{k}$ als Nenner geschrieben sind, und da man zu einer größeren Potenz übergehen kann, darf man auch annehmen, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}n$ ist. Wir multiplizieren die Gleichung mit ${}f^{kn}$ und erhalten

${}(f^{k}q)^{n}+g_{n-1}f^{k}(f^{k}q)^{n-1}+\cdots +g_{1}f^{k(n-1)}(f^{k}q)+f^{kn}g_{0}=0\,.$

Dabei sind alle Koeffizienten aus ${}R$ und daher liegt eine Ganzheitsgleichung für ${}f^{k}q$ vor. Wegen der Normalität von ${}R$ bedeutet dies ${}f^{k}q\in R$, also ${}q=b/f^{k}\in R_{f}$.

Zur gelösten Aufgabe