Normaler noetherscher Bereich/Durchschnitt/Lokalisierungen zur Höhe 1/Fakt/Beweis

Beweis

Sei und sei vorausgesetzt, dass nicht zu gehört. Dann gibt es nach Fakt auch ein zu einem Restklassenring nach einem Hauptideal assoziiertes Primideal mit . Es ist also das Annullatorideal zu einem Element modulo dem Hauptideal . Wir können durch Lokalisierung annehmen, dass das maximale Ideal von ist. Wir betrachten den -Untermodul

Dabei gilt

Wegen der Maximalität von ist

oder

Im ersten Fall folgt aus Fakt, dass die Elemente aus ganz über sind. Wegen der Normalität von folgt . Wegen ist auch , also

ein Widerspruch. Also liegt der zweite Fall, , vor. Doch dann muss es Elemente und mit

geben. Für ist dann , also und damit ist ein Hauptideal. Nach Fakt ist ein diskreter Bewertungsring und besitzt die Höhe .