Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie

Definition von Metriken Bearbeiten

Für das unten angegebene Quiz werden die folgenden Metriken verwendet.

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Diskrete Topologie Bearbeiten

Gegeben ist die diskrete Topologie   auf den reellen Zahlen  . Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

  

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

Die Randpunkte der Menge   sind Punkte   und   in der diskreten Topologie.
Jede Teilmenge   der reellen Zahlen   ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik   erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
Die diskrete Topologie ist nicht metrisierbar.
Der offene Kern der Menge   ist die leere Menge Menge  .
Das Intervall   ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
Die diskrete Topologie ist Hausdorffsch.
Sei   eine Folge, die in   gegen   konvergiert (formal:  ), dann gibt es ein   mit   für alle  .
Der offene Kern der Menge   ist die Menge  .
Das Intervall   besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Sei   eine Folge in  , für die ein   existiert mit   für  . Dann konvergiert die Folge   gegen   in   (formal:  ).
Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik   erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
Jede Teilmenge   der reellen Zahlen   ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Sei   eine Folge in  , für die ein   existiert, mit   für  . Dann konvergiert die Folge   gegen   in   (formal:  ).
Sei   ein beliebige Folge und  , dann konvergiert die Folge   gegen   (formal:  ).
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Sei   eine Folge, die in   gegen   konvergiert (formal:  ), dann gibt es ein   mit   für alle  .
Der offene Kern der Menge   ist die Menge  .
Sei   eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt   in der diskreten Topologie.
Der offene Kern der Menge   ist die Menge  .
Das Intervall   ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
Der offene Kern der Menge   ist die leere Menge Menge  .
Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist   (Definition siehe oben)


Chaotische Topologie Bearbeiten

Gegeben ist die chaotische Topologie   mit   auf den reellen Zahlen  . Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

  

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

Sei  , für die   für   gilt. Dann konvergiert die Folge   gegen   (formal:  .
Der offene Kern der Menge   ist die Menge  .
Der offene Kern der Menge   ist die Menge  .
Das Intervall   besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Sei   ein beliebige Folge und  , dann konvergiert die Folge   gegen   (formal:  .
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Der offene Kern der Menge   ist die leere Menge Menge  .
Die chaotische Topologie ist nicht metrisierbar.
Die chaotische Topologie ist Hausdorffsch.
Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik ist über  (Definition siehe oben)
Jede Teilmenge   der reellen Zahlen   ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
Jede Teilmenge   der reellen Zahlen   ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie.
Das Intervall   ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie..
Die Randpunkte der Menge   sind Punkte   und   in der chaotischen Topologie.
Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist   (Definition siehe oben)
Der Abschluss der Menge   ist die Menge  .
Der offene Kern der Menge   ist die Menge  .
Das Intervall   ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
Sei   eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt   in der chaotischen Topologie.
Der offene Kern der Menge   ist die leere Menge Menge  .


Endliche Topologien Bearbeiten

Sei   gegeben mit

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Die folgenden Fragen beziehen sich auf   mit einem bestimmte  . Dabei untersuchen Sie die oben definierte Grundmenge   mit einem Mengensystem  .

  

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

  ist ein topologischer Raum,
  ist ein topologischer Raum,
  ist ein topologischer Raum,
  ist ein topologischer Raum,
  ist ein topologischer Raum,
  ist ein topologischer Raum,
  ist ein topologischer Raum,
Für das Mengensystem   kann man mit genau einer Teilmenge von   erweitern, damit das erweiterte Mengesystem   auf   wird.
Für das Mengensystem   fehlen genau zwei Teilmengen von  , damit das erweiterte Mengesystem   ein topologischer Raum ist und   ein minimale Erweiterung von   ist.
Für das Mengensystem   fehlen genau drei Teilmengen von  , damit das erweiterte Mengesystem   ein topologischer Raum ist und   ein minimale Erweiterung von   ist.
Der Abschluss der Menge   ist  .
Der offene Kern der Menge   ist  .
Der Abschluss der Menge   ist  .
Die Menge   ist in dem topologischen Raum   eine offene Menge.
Die Menge   ist in dem topologischen Raum   eine abgeschlossene Menge.
Der Abschluss der Menge   ist   in dem topologischen Raum  .
Der Abschluss der Menge   ist   in dem topologischen Raum   eine abgeschlossene Menge.
Der Abschluss der Menge   ist   in dem topologischen Raum  .
Der Abschluss der Menge   ist   in dem topologischen Raum  .
Der offene Kern der Menge   ist   in dem topologischen Raum  .
Der offene Kern der Menge   ist   in dem topologischen Raum  .
Der offene Kern der Menge   ist   in dem topologischen Raum  .
Der offene Kern der Menge   ist   in dem topologischen Raum  .


Bemerkung Bearbeiten

Begründen Sie Ihre jeweils Ihre Antworten. Nach dem Absenden der Anworten sehen Sie, welche Antworten korrekt sind bzw. nicht korrekt beantwortet wurden. Ggf. können Sie dieses auch als Hilfe verwenden, um die Begründung für Ihre Antworten noch einmal zu überdenken.

Siehe auch Bearbeiten