Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie

Definition von Metriken

Für das unten angegebene Quiz werden die folgenden Metriken verwendet.

• $d_{1}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{o}^{+}\qquad d_{1}(x,y)={\begin{cases}1&x\not =y\\0&x=y\\\end{cases}}$
• $d_{2}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{o}^{+}\qquad d_{2}(x,y)=|x-y|$

Diskrete Topologie

Gegeben ist die diskrete Topologie $(\mathbb {R} ,d_{1})$ auf den reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

	Das Intervall $[a,b]$ ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge, die in $(\mathbb {R} ,d_{1})$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ konvergiert (formal: ${\stackrel {d_{1}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$), dann gibt es ein $n_{o}\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}=x_{o}$ für alle $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$.
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik $d_{2}$ erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein beliebige Folge und $x_{o}\in \mathbb {R}$, dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}$ (formal: ${\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$).
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist $d_{1}$ (Definition siehe oben)
	Sei $M\subset \mathbb {R}$ eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt $\partial M=\emptyset$ in der diskreten Topologie.
	Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R}$, für die ein $n_{o}\in \mathbb {N}$ existiert mit $x_{n}=x_{o}$ für $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$. Dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ in $(\mathbb {R} ,d_{2})$ (formal: ${\stackrel {d_{2}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$).
	Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $(a,b)$.
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$.
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\emptyset$.
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$.
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $[a,b]$.
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\mathbb {R}$.
	Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $\mathbb {R}$.
	Die diskrete Topologie ist Hausdorffsch.
	Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
	Das Intervall $[a,b]$ besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
	Die diskrete Topologie ist nicht metrisierbar.
	Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$.
	Die Randpunkte der Menge $[a,b]$ sind Punkte $a$ und $b$ in der diskreten Topologie.
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge, die in $(\mathbb {R} ,d_{2})$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ konvergiert (formal: ${\stackrel {d_{2}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$), dann gibt es ein $n_{o}\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}=x_{o}$ für alle $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$.
	Das Intervall $[a,b]$ ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R}$, für die ein $n_{o}\in \mathbb {N}$ existiert, mit $x_{n}=x_{o}$ für $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$. Dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ in $(\mathbb {R} ,d_{1})$ (formal: ${\stackrel {d_{1}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$).
	Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $[a,b]$.
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik $d_{1}$ erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die Menge $(a,b)$.

Chaotische Topologie

Gegeben ist die chaotische Topologie $(\mathbb {R} ,\tau )$ mit $\tau :=\{\emptyset ,\mathbb {R} \}$ auf den reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, für die $x_{n}=x_{o}$ für $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$ gilt. Dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ (formal: ${\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$.
	Das Intervall $[a,b]$ besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
	Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
	Die Randpunkte der Menge $[a,b]$ sind Punkte $a$ und $b$ in der chaotischen Topologie.
	Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $(a,b)$.
	Die chaotische Topologie ist Hausdorffsch.
	Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik ist über $d_{2}$(Definition siehe oben)
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\emptyset$.
	Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $[a,b]$.
	Die chaotische Topologie ist nicht metrisierbar.
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\mathbb {R}$.
	Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$.
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $[a,b]$.
	Sei $M\subset \mathbb {R}$ eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt $\partial M=\emptyset$ in der chaotischen Topologie.
	Das Intervall $[a,b]$ ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
	Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist $d_{1}$ (Definition siehe oben)
	Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie.
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$.
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein beliebige Folge und $x_{o}\in \mathbb {R}$, dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}$ (formal: ${\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$.
	Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $\mathbb {R}$.
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die Menge $(a,b)$.
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$.
	Das Intervall $[a,b]$ ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie..

Endliche Topologien

Sei $(X,\tau _{k})$ gegeben mit

• $k=0,1,\ldots ,6$
• $X:=\{a,b,c,d,e,f\}$
• $\tau _{0}:={\big \{}\emptyset ,X{\big \}}$
• $\tau _{1}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\}{\big \}}$
• $\tau _{2}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\},\{d,e,f\}{\big \}}$
• $\tau _{3}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\},\{c,d,e\}{\big \}}$
• $\tau _{4}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\}{\big \}}$
• $\tau _{5}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\}{\big \}}$
• $\tau _{6}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\},\{f\}{\big \}}$.

Die folgenden Fragen beziehen sich auf $(X,\tau _{k})$ mit einem bestimmte $k=1,\ldots ,6$. Dabei untersuchen Sie die oben definierte Grundmenge $X$ mit einem Mengensystem $\tau _{k}$.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

	$(X,\tau _{0})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{1})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{2})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{3})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{4})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{5})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{6})$ ist ein topologischer Raum,
	Für das Mengensystem $\tau _{6}$ kann man mit genau einer Teilmenge von $X$ erweitern, damit das erweiterte Mengesystem ${\widetilde {\tau _{6}}}$ auf $X$ wird.
	Für das Mengensystem $\tau _{6}$ fehlen genau zwei Teilmengen von $X$, damit das erweiterte Mengesystem ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ein topologischer Raum ist und ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ein minimale Erweiterung von ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ist.
	Für das Mengensystem $\tau _{6}$ fehlen genau drei Teilmengen von $X$, damit das erweiterte Mengesystem ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ein topologischer Raum ist und ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ein minimale Erweiterung von ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ist.
	Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c\}$.
	Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c\}$.
	Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $X$.
	Die Menge $\{a,b,c,\}$ ist in dem topologischen Raum $(X,\tau _{1})$ eine offene Menge.
	Die Menge $\{a,b,c,\}$ ist in dem topologischen Raum $(X,\tau _{1})$ eine abgeschlossene Menge.
	Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c,d\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$.
	Der Abschluss der Menge $\{a,b\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ eine abgeschlossene Menge.
	Der Abschluss der Menge $\{a\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$.
	Der Abschluss der Menge $\{b\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$.
	Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c,d\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$.
	Der offene Kern der Menge $\{a,b,c,d\}$ ist $\{a,b,c\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$.
	Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{b\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$.
	Der offene Kern der Menge $\{a,b\}$ ist $\emptyset$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$.

Bemerkung

Begründen Sie Ihre jeweils Ihre Antworten. Nach dem Absenden der Anworten sehen Sie, welche Antworten korrekt sind bzw. nicht korrekt beantwortet wurden. Ggf. können Sie dieses auch als Hilfe verwenden, um die Begründung für Ihre Antworten noch einmal zu überdenken.

Siehe auch

• diskrete Topologie
• Chaotische Topologie oder triviale Topologie
• Hilfe:Quiz