Bei liegt eine Nullstelle vor. Auf sind beide Summanden positiv, und für ist , sodass, da zwischen
und
liegt, jenseits von keine Nullstelle liegen kann. Für ist wiederum , sodass unterhalb von auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall ziehen wir die Ableitung heran. Es ist
-
Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf
höchstens eine Nullstelle. Es ist
, sodass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf
auch negative Werte annehmen. Wegen
muss
nach dem Zwischenwertsatz in
mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen
geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf
als auch auf
eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.