Nullstellenfreie Funktion/Diagonalmatrix/Umkehrbarkeit/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{f(y)}}&{\frac {xf'(y)}{-(f(y))^{2}}}\\0&f(y)\end{pmatrix}}.$

b) Die Abbildung ${}\varphi$ ist nach den Voraussetzungen an ${}f$ stetig differenzierbar. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist in jedem Punkt

${}{\frac {1}{f(y)}}f(y)=1\,,$

daher ist das totale Differential bijektiv und der Satz ist anwendbar.

c) Es seien ${}(x,y),\,(x',y')$ mit dem gleichen Bildpunkt gegeben. Da ${}f$ stetig und nullstellenfrei ist, ist ${}f$ entweder überall positiv oder überall negativ. Daher ist die Stammfunktion ${}g$ streng wachsend oder streng fallend und jedenfalls injektiv. Aus ${}g(y)=g(y')$ folgt also ${}y=y'$. Aus

${}{\frac {x}{f(y)}}={\frac {x'}{f(y')}}\,$

folgt sodann

${}x=x'\,.$

Zur gelösten Aufgabe