Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Element ${}m\in M_{+}\setminus (M_{+}+M_{+})$ lässt sich nicht als Summe von anderen Elementen darstellen, daher gehöret es zu jedem Erzeugendensystem. Umgekehrt ist es aber schon ein Erzeugendensystem. Wäre das nicht der Fall, so gäbe es ein minimales Element ${}x\in M$, das nicht von diesen Elementen erzeugt würde. Insbesondere gehört dann ${}x$ nicht zu diesen Elementen und daher ist ${}x=x_{1}+x_{2}$ mit ${}x_{1},x_{2}\in M_{+}+M_{+}$. Diese beiden Summanden sind aber kleiner als ${}x$ und deshalb gibt es für sie eine Summendarstellung aus diesen Elementen, was sofort ein Widerspruch ist.

Zur bewiesenen Aussage