Numerisches Monoid/M + und n-fach/Maximales Ideal und Potenzen/Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid und ${}K$ ein Körper. Definiere

M_{+}=M\cap \mathbb {N} _{+}{\text{ und }}nM_{+}={\left\{m\in M\mid {\text{es gibt eine Darstellung }}m=m_{1}+\ldots +m_{n}{\text{ mit }}m_{i}\in M_{+}\right\}}.

Zeige, dass

{}nM_{+}

„Ideale“ in

{}M

sind, dass zu

{}M_{+}

ein maximales Ideal

{}{\mathfrak {m}}

in

{}K[M]

gehört, und dass das zu

{}nM_{+}

gehörige Ideal gleich

{}{\mathfrak {m}}^{n}

ist.