Numerisches Monoid/N ab e/Hilbert-Funktion/Aufgabe/Lösung

1. Wir behaupten

   ${}nM_{+}=\mathbb {N} _{\geq ne}\,.$

   Die Zugehörigkeit ${}k\in nM_{+}$ bedeutet, dass es ${}n$ Elemente ${}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M_{+}=\mathbb {N} _{\geq e}$ mit

   ${}k=m_{1}+\cdots +m_{n}\,.$

   Wegen ${}n_{j}\geq e$ ist ${}k\geq ne$. Wenn umgekehrt ${}k\geq ne$ gilt, so kann man

   ${}k=(n-1)e+m\,$

   mit ${}m\geq e$ schreiben, also ist ${}k\in nM_{+}$.

2. Es ist

   ${}M\setminus nM_{+}=M\setminus \mathbb {N} _{\geq ne}=\{0,1,\ldots ,ne-1\}\,,$

   diese Menge besitzt somit ${}ne$ Elemente.

3. Wegen

   ${}{\begin{aligned}K[M]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}&\cong K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}\\&=K[M]/(nM_{+})\\&=K[M]/(\mathbb {N} _{\geq en})\\&=K\langle T^{m},\,0\leq m<en\rangle \end{aligned}}$

   ist die ${}K$-Dimension von ${}K[M]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}$ ebenfalls gleich ${}ne$.

Zur gelösten Aufgabe