NxN/Lexikographisch/Wohlgeordnet/Nicht induktiv/Aufgabe

Betrachte die Produktmenge ${}\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ mit der Nachfolgerfunktion

${}(a,b)':=(a,b')\,$

und der sogenannten lexikographische Ordnung, für die

$(a_{1},b_{1})\leq (a_{2},b_{2})$

genau dann gilt, wenn ${}a_{1}<a_{2}$ oder ${}a_{1}=a_{2}$ und ${}b_{1}\leq b_{2}$ ist. Zeige folgende Aussagen.

1. Es handelt sich um eine totale Ordnung.
2. Es ist

   ${}x'\geq x\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$.

3. ${}(0,0)$ ist das kleinste Element.
4. Es liegt eine Wohlordnung (nach unten) vor.
5. Diese Menge mit der Nachfolgerfunktion erfüllt nicht das Dedekind-Peano-Induktionsaxiom

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