Obere Dreiecksmatrix/Diagonalelement/Eigenwert/Direkt/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}a$ ein Diagonalelement und es sei ${}k$ der kleinste Index mit

${}d_{k}=a\,.$

Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor

${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\neq 0\,$

mit

${}Mx=ax\,$

gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit

${}x_{k}=1\,$

und

${}x_{i}=0\,$

für ${}i>k$. Damit sind die ${}i$-ten Zeilen zu ${}Mx=ax$ für ${}i>k$ erfüllt. Die unteren Zeilen werden (wir schreiben

${}M=(d_{ij}\,$

und ${}d_{ii}=d_{i}$) zum Gleichungssystem

${}d_{1}x_{1}+\cdots +d_{1k}x_{k}=d_{k}x_{1}\,,$

${}d_{2}x_{2}+\cdots +d_{2k}x_{k}=d_{k}x_{2}\,,$

$\vdots$

${}d_{k-1}x_{k-1}+d_{k-1\,k}x_{k}=d_{k}x_{k-1}\,,$

${}d_{k}x_{k}=d_{k}x_{k}\,$

bzw. zum linearen Gleichungssystem

${}(d_{1}x_{1}-d_{k})+\cdots +d_{1k}x_{k}=0\,,$

${}(d_{2}x_{2}-d_{k})+\cdots +d_{2k}x_{k}=0\,,$

$\vdots$

${}(d_{k-1}-d_{k})x_{k-1}+d_{k-1\,k}x_{k}=0\,,$

${}(d_{k}-d_{k})x_{k}=0\,.$

Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit ${}x_{k}=1$ erfüllt. Da

${}d_{i}\neq d_{k}\,$

ist für ${}i<k$, ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm

${}d_{i}-d_{k}\neq 0\,$

für ${}i<k$ von ${}0$ verschieden. Nach Fakt kann man also ${}x_{k}=1$

zu einer Lösung ergänzen.

Zur gelösten Aufgabe