Obere Dreiecksmatrix/Diagonalelement/Eigenwert/Direkt/Aufgabe/Lösung


Es sei ein Diagonalelement und es sei der kleinste Index mit

Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor

mit

gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit

und

für . Damit sind die -ten Zeilen zu für erfüllt. Die unteren Zeilen werden (wir schreiben

und ) zum Gleichungssystem

bzw. zum linearen Gleichungssystem

Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit erfüllt. Da

ist für , ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm

für von verschieden. Nach Fakt kann man also

zu einer Lösung ergänzen.