Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt/Beweis

Beweis

ist wegen auf definiert. Wir zeigen

was zu

äquivalent ist. Mit ist dies äquivalent zu

was wiederum äquivalent zu

ist, was wegen stimmt.

Für ist direkt , daher ist definiert. Sei mit . Dann ist

Da der Nenner eine positive reelle Zahl ist, ist der Imaginärteil dieser Zahl wegen

positiv, also liegt das Bild von in .

Wir berechnen nun die Hintereinanderschaltungen. Es ist

und