Obere Halbebene/Schwache Modulfunktion/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}k\in \mathbb {Z}$. Eine meromorphe Funktion ${}f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ heißt schwach modular vom Gewicht ${}k$, wenn

${}f(Mz)=(cz+d)^{k}f(z)\,$

für alle

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$

gilt, wobei ${}M$ durch Modulsubstitution auf ${}{\mathbb {H} }$ operiert.

Explizit bedeutet die Bedingung, dass

${}f{\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}=(cz+d)^{k}f(z)\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {H} }$ gilt. Ein direktes Korollar aus Fakt ist die folgende Aussage.

Lemma

Es sei ${}f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$.

Dann ist ${}f$ genau dann schwach modular vom Gewicht ${}k$, wenn sie die beiden Bedingungen ${}f(z+1)=f(z)$ und ${}f{\left(-{\frac {1}{z}}\right)}=z^{k}f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {H} }$ erfüllt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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