Obstsalat/Mineralien und Vitamine/Tabelle und Matrix/Lineares Gleichungssystem/Beispiel

Ein gesundes Frühstück beginnt mit einem Obstsalat. Die folgende Tabelle zeigt, wie viel Vitamin C, Calcium und Magnesium (jeweils in Milligramm) unterschiedliche Früchte (pro 100 Gramm) besitzen.

	Apfel	Orange	Traube	Banane
Vitamin C	${}12$	${}53$	${}4$	${}9$
Calcium	${}7$	${}40$	${}12$	${}5$
Magnesium	${}6$	${}10$	${}8$	${}27$

Mein Obstsalat heute morgen besteht aus den angegebenen Früchten in den Anteilen ${}{\begin{pmatrix}3\\2\\7\\6\end{pmatrix}}$ (also ${}300$ Gramm Apfel u.s.w.). Daraus kann man den gesamten Vitamin-C-Gehalt, den Calcium-Gehalt und den Magnesium-Gehalt des Obstsalats ausrechnen, indem man einfach für jede Frucht ihre Menge mit dem entsprechenden Gehalt multipliziert und alles aufsummiert. Der Vitamingehalt des gesamten Obstsalats ist also (in Milligramm)

${}12\cdot 3+53\cdot 2+4\cdot 7+9\cdot 6=224\,.$

Diese Operation ist ein Beispiel für die Wirkungsweise einer Matrix. Die Tabelle führt unmittelbar zu einer ${}3\times 4$-Matrix, nämlich zu ${}{\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}$, und die obige Rechnung wird durch die Matrixmultiplikation

${}{\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\\7\\6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}224\\215\\256\end{pmatrix}}\,$

realisiert.

Man kann auch umgekehrt sich einen Obstsalat wünschen, der eine bestimmte Menge an Vitamin C, Calcium und Magnesium besitzt, sagen wir ${}{\begin{pmatrix}180\\110\\140\end{pmatrix}}$. Dies führt zum linearen Gleichungssystem in Matrixform

${}{\begin{pmatrix}12&53&4&9\\7&40&12&5\\6&10&8&27\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}180\\110\\140\end{pmatrix}}\,.$