Offene Menge/R^n/n-Form/Exakt/Aufgabe/Lösung

Wir können die Form als

${}\omega =h(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

mit einer stetigen Funktion

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

schreiben, wobei die ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Zu jedem fixierten Tupel ${}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{n})$ hängt die eingeschränkte Abbildung ${}h_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},-,x_{i+1},\ldots ,x_{n})$ nur von ${}x_{i}$ ab. Da ${}h_{i}$ stetig ist, gibt es eine Stammfunktion ${}H_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},-,x_{i+1},\ldots ,x_{n})$. Deren partielle Ableitung nach ${}x_{i}$ ist gerade ${}h_{i}$

$\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}H_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

${}=\,$

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