Offene Teilmenge/R^n/Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f_{n}$ kompakt konvergent und sei ${}P\in T$. Zu einer offenen Ballumgebung ${}P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq T$ ist der abgeschlossene Ball ${}B\left(P,r\right)$ kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei ${}K\subseteq T$ eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung ${}K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}U_{i}$ mit in ${}T$ offenen Teilmengen ${}U_{i}$ derart, dass die Funktionenfolge auf jedem ${}U_{i}$ gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf ${}K$.

Zur bewiesenen Aussage