Offene Teilmenge/R^n/Funktionenfolge/Kompakt konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei kompakt konvergent und sei . Zu einer offenen Ballumgebung ist der abgeschlossene Ball kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung mit in offenen Teilmengen derart, dass die Funktionenfolge auf jedem gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf .